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La identidad de Euler

Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores de la historia.
Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue verdaderamente un genio.

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas.
Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de -1,

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por lo tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún.
Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

Ó, resulta lo mismo escribir,

Esta es la identidad de Euler, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales, el cero, el uno, pi, el número e y el número i.
Esta ecuación expresa con unos pocos símbolos matemáticos, una belleza infinita. Digna de un genio como Euler.

 

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